Kurt Godel: Dasar Matematika dan Logika Adalah Intuisi - Sinergi NTB
Terbaru
Loading...

Jumat, 13 Maret 2020

Kurt Godel: Dasar Matematika dan Logika Adalah Intuisi


Oleh: Ahmad Yulden Erwin
(Penulis, Ahli Bahasa dan Sastra)

“Saya tak meletakkan iman saya pada ilmu alam.“ Begitu kata Kurt Godel, seorang logikawan dan matematikus yang dikagumi bahkan oleh seorang Albert Einstein. Uniknya, Kurt Godel sendiri, tidak seperti umumnya ilmuwan fisika yang atheis atau agnostik, adalah seorang religius dalam arti konvensional. Ia memeluk agama kristen hingga wafatnya.

Adalah aib, mungkin juga semacam ironi yang tak dikehendaki, bagi kalangan ilmuwan modern pada awal abad ke-20, khususnya ilmu alam, mengetahui fakta bahwa salah satu teori sains terbesar di dunia justru diciptakan oleh seorang ilmuwan yang menjadi pemeluk teguh satu agama konvensional. Meski demikian Teori Ketaklengkapan yang dipublikasikan oleh Kurt Godel pada tahun 1931, sampai sekarang masih dianggap sebagai karya sains terbesar pada abad ke-20, di samping Teori Relativitas karya Albert Einstein dan Teori Ketakpastian karya Werner Heisenberg.

Sebuah jurnal sains pernah menempatkan Kurt Godel pada urutan pertama dari 100 matematikawan terbesar sepanjang sejarah karena temuannya tentang Teori Ketaklengkapan. Selain itu, salah satu dilema matematis yang dihadirkan oleh Kurt Godel yaitu “Problem Alogaritma P=NP“ masih merupakan satu dari enam problem matematis yang belum terpecahkan hingga saat ini.

Teori Ketaklengkapan dari Kurt Godel telah mematahkan ambisi para ilmuwan dunia untuk mencipta sebuah Teori Segalanya. Godel lewat teorinya itu telah membuktikan sebuah teori sains tak bisa konsisten sekaligus lengkap (berlaku untuk semua teori lainnya). Dasar dari matematika, termasuk juga ilmu-ilmu alam, sesungguhnya dibangun secara intuitif--sama seperti keyakinan religius. Tak ada dasar universal bagi sains, sebab dasar itu pada faktanya dipilih secara intuitif oleh para ilmuwan.

Teori Ketaklengkapan Godel ini juga yang membuat Stephen Hawking meninggalkan Theory of Everything dan membuat hipotesis baru dalam kosmologi kuantum, yaitu: M-Theory. M-Theory dari Stephen Hawking menyatakan bahwa ada banyak jagad raya (jagad paralel) yang memiliki hukum alamnya sendiri-sendiri. Tak ada satu hukum alam universal di dalam satu jagad raya tunggal. Jelas sekali bahwa basis hipotesis dari M-Theory adalah berasal dari Teori Ketaklengkapan Kurt Godel.

Para ilmuwan besar dunia selalu hati-hati, mungkin juga bergidik, bila menyebut nama Kurt Godel. Sosoknya seperti hantu yang mematahkan optimisme objektivitas dan universalitas dari ilmu alam dan menempatkannya setara dengan mitos. Sampai sekarang Teori Ketaklengkapan dari Kurt Godel belum bisa dibuktikan salah dan berarti masih berlaku sebagai aturan dasar yang membentuk bahkan Teori Relativitas Umum Albert Einstein dalam kosmologi dan Teori Ketakpastian Werner Heisenberg dalam fisika kuantum.

Kurt Godel bukan hanya seorang matematikawan, ia juga seorang pakar logika modern yang meletakkan dasar bagi bahasa pemprogaman komputer saat ini. Problem Alogaritma P=NP yang dilontarkannya menjadi pemicu bagi ilmuwan komputer untuk mencipta teknologi informasi, termasuk artificial intelegency (AI) yang sekarang tengah menjadi trend dunia sains kontemporer. Tanpa Kurt Godel sulit membayangkan akan ada kemajuan dari pemprogaman kompleks seperti dunia internet dan jejaring sosial saat ini.

A. Godel's Completeness Theorem

Theorem 1:
Every valid logical expression is provable. Equivalently, every logical expression is either satisfiable or refutable.
 
Theorem 2 (Godel's Fixed Point Theorem):
If φ(v0) is a formula of number theory, then there is a sentence ψ such that P ⊢ ψ ↔ φ(⌈ψ⌉), where ⌈ψ⌉ is the formal term corresponding to the natural number code of ⌈ψ⌉.

B. Godel's Incompleteness Theorem

Theorem 3 (Godel's First Incompleteness Theorem):
If P is ω-consistent, then there is a sentence which is neither provable nor refutable from P.

Theorem 4 (Godel's Second Incompleteness Theorem):
If P is consistent, then Con(P) is not provable from P.

Theorem 5:
Given any recursive function f there are provable sentences φ of arithmetic such that the shortest proof is greater than f(⌈φ⌉) in length.

Theorem 6:
Let n be a natural number > 0. If f is a computable function, then there are infinitely many formulas A, provable in Sn, such that if k is the length of the shortest proof of A in Sn and l is the length of the shortest proof of A in Sn+1, then k > f(l).

Theorem 7:
There is no realization with finitely many elements (truth values) for which the formulas provable in H, and only those, are satisfied (that is, yield designated values for an arbitrary assignment). H is intuitionistic propositional logic, after Heyting.

Theorem 8:
Infinitely many systems lie between H and the system A of the ordinary propositional calculus, that is, there is a monotonically decreasing sequence of systems all of which include H as a subset and are included in A as subsets.

Theorem 9:
Let F be a propositional formula. Then H ⊢ F if and only if A ⊢ F′, that ¬F follows from H if and only if ¬F follows from A, for any propositional formula F. The translation in this case can be taken to map A′ to A for atomic A. Moreover, we let ∀xA(x)′ = ∀xA′(x)

Theorem 10:
Suppose A is a first order formula. If A is provable in classical first order logic, then A′ is provable in intuitionistic first order logic.

Theorem 11:
Suppose A is a first order formula of arithmetic. If A is provable in classical Peano arithmetic, then A′ is provable in intuitionistic first order arithmetic.

Theorem 12:
Let A be a formula of IPL, and let A′ be its translation. Then IPL ⊢ A implies G ⊢ A′.

Theorem 13:
Suppose F′ = ∃y∀zA(y, z, x). If F is provable in intuitionistic first order arithmetic, then there are computable functionals Q of finite type such that A(Q(x), z, x) is provable in T.
-------------------------------------
Source: “The Consistency of the Continuum Hypothesis” by Kurt Godel (1906-1978) | English | Princeton, N.J.: Princeton University Press, (1951, © 1940), 69 p |
--------------------------------------
 
Foto: Kurt Godel dan Albert Einstein tengah berjalan dan berbincang di halaman Universitas Princeton, USA.

Share with your friends

Give us your opinion

Notification
Kami menerima tulisan berupa opini, artikel serta beragam jenis tulisan menarik lainnya. kirimkan ke email kami sinergy@gmail.com.
Done